【知识点】工程问题：
1.三量关系：总量=效率*时间。
2.切入点：（1）给定完工时间型。
（2）给定效率比例型。
（3）给定具体效率型。
3.工程问题核心思想：准确找到切入点。
【知识点】给定完工时间型：多个主体完工时间。
1.赋总量（时间的公倍数）。
2.算效率：效率=总量/时间。
3.根据题意求解。
4.例：搬一车砖，小涛需要 3 天，高哥需要 2 天，现两人合作，需要多少天？
答：题目给出多个主体完工时间，总量=效率*时间。（1）赋总量。一般赋
值为时间 3、2 的公倍数 6。（2）求效率。小涛效率=6/3=2，高哥效率=6/2=3。
（3）完成工作。t=总量/效率=6/（2+3）=1.2 天。
5.找公倍数：
（1）15、18：短除法，公约数 3，约分后分别剩下 5、6；5、6 不可约分，
将最外围的所有数相乘，因此公倍数=3*5*6=90。
（2）15、18、27：短除法，公约数 3，约分后分别剩下 5、6、9，其中 6、
9 还可以约 3，5 不能约 3，约分后还剩 5、2、3，所以最小公倍数是 3*3*5*2*3=270。
（3）赋值时为了好算所以赋值最小公倍数，也可以直接赋值公倍数。比如
2、3 的最小公倍数是 6，也可以赋值 60，但是 6 比较好算。
【知识点】给定效率比例型：
1.比如：
（1）甲乙的效率比 3：5。
（2）甲 5 天的工作量等于乙 3 天的工作量。甲*5=乙*3，转化为甲/乙=3/5。
（3）多个相同机器，默认效率相同，为 1。
2.方法：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：效率*时间=总量。
（3）求解。
【知识点】给定具体效率型：也叫给定具体值类。
1.方法：
（1）设效率为未知数（设小不设大或者设出现最多的）。
（2）根据工作过程列方程。
2.比如：给出甲的效率为 30，乙的效率是 10。或者给出甲的效率比乙多 20，
设未知数的时候，设乙为 x，那么甲是 x+20。
【小结】工程问题：想清楚“是什么”。
1.给完工时间型：
（1）先赋总量（公倍数）。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程。
2.给效率比例型：
（1）先赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列方程。
3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程
【知识点】
1.行程问题比较复杂：题型较多，变化形式多样。
2.三量关系：路程=速度*时间。
3.题型：（1）基本行程。
（2）相对行程。
（3）比例行程。
4.行程问题核心思想：找对题型，对应公式和方法。
【知识点】等距离平均速度：
1.公式：V=2V1V2/（V1+V2）。
2.适用于：等距离往返、上下坡往返。
3.有一个大爷去爬坡，上坡的速度是 1m/s，下坡的速度是 10m/s，平均速度
=2*1*10/（10+1），注意不是（1+10）/2。
4.等距离的表述：
（1）从 A 到 B，前一半路程和后一半路程是等距离。
（2）一段行程，去的路程和回来的路程是等距离。
（3）上下坡，也是等距离。
【知识点】相对行程：
1.直线：
（1）直线相遇：
①例：老师和媳妇约好一起吃饭，同时出发，相向而行，在哪里遇到就在
哪里吃饭。老师的速度是 v1，媳妇的速度是 v2，同时出发，到相遇时时间相等，
那么路程 S 相遇=S1+S2=v1*t+v2*t=（v1+v2）*t。
②环境：两人同时相向（面对面）而行，相遇路程是两个人相遇的过程中
一起跑的路程。
③公式：S 相遇=v1*t+v2*t=（v1+v2）*t。
（2）直线追及：9
①老师的速度是 20m/s，媳妇的速度是 1m/s，老师在途中没有看到媳妇，
走到了媳妇单位，发现媳妇已经走了，所以去追她，因为老师的速度快，所以
老师一定可以在某处追上她。从开始追到追上，两个人的时间是相同的，老师
走的路程是红色部分，媳妇走的路程是蓝色部分，黑色虚线部分就是追及的距
离，即两人一开始相距的距离。
②环境：两人同时同向而行。
③公式：S 追及=v1*t-v2*t=（v1-v2）*t，v1是速度较快的人的速度。v2是速
度较慢的人的速度。追及距离就是多走的距离，即为了追上某人多走的那一段
距离。
2.环形：
（1）环形相遇：同点出发，相向而行，在某一点相遇，相遇路程是两人
一起走的路程。相遇一次，两人共走一圈，相遇两次，两人一共走两圈，相遇
n 次，两人共走 n 圈。10
（2）环形追及（同时同地同向出发）：
①追及路程与圈数的关系：两个人参加运动会，我和你跑圈，同时同地同
向出发，你跑得快，我跑得慢，同时出发，你追上我一次，相当于套一圈，即
你比我多跑一圈，就是追及距离。第二次追上我，又套了我一圈，一共套了两
圈，追及距离是两圈；套 n 圈，追及路程是 n 圈。
②S 追及=（v1-v2）*t。追上一次，S 追及=1 圈；追上 n 次，S 追及=n 圈。
【知识点】多次相遇（两端出发）：
1.例：高照老师和他媳妇两人相向而行，第一次相遇（迎面相遇）共走一个13
全程 S，但中间互相没看见，两人达到对方地点没有看到对方，则返回，第二次
相遇，走了 3 个全程 3S。
2.两端出发相遇：
（1）第 1 次相遇，共走 1S。
（2）第 2 次相遇，共走 3S。
（3）第 3 次相遇，共走 5S。
（4）第 n 次相遇，共走（2n-1）S。
3.多次相遇（两端出发）：
（1）S 总=（2n-1）S 全长。
（2）S 总为运动过程中，两人所走的路程和=（V 甲+V 乙）*T。
（3）n 为相遇次数。第 n 次相遇，走（2n-1）S。
（4）S 全长为从 A 到 B 的距离。
【知识点】流水行船：
1.顺水：V 顺=V 船+V 水。
2.逆水：V 逆=V 船-V 水。
3.上面两式相加可得 2*V 船=（V 顺+V 逆），V 船=（V 顺+V 逆）/2；两式相减可
得 2*V 水=（V 顺-V 逆），V 水=（V 顺-V 逆）/2。
4.（1）V 静（在静水中船的速度）即船速 V 船。
（2）V 漂（漂流的速度）即 V 水。
【知识点】比例行程：
1.三量关系：路程=速度*时间。
2.路程一定，速度与时间成反比。
3.速度一定，路程与时间成正比。
4.时间一定，路程与速度成正比。
5.例：
（1）两人跑步，甲和乙从起点到终点，甲所用时间为 2h，乙所用时间为
3h，问两人速度比？行程一定，速度与时间成反比，则 v1/v2=3/2。
（2）甲、乙两人走全程分别用时 2h、3h，甲速度为 60 千米/s，问乙的
速度。行程一定，v1/v2=3/2，甲占 3 份速度为 60，则 1 份为 20，乙占 2 份为
40。
（3）甲走全程用时 2h，乙的速度 v2在甲的速度 v1基础上提升了 1/3，问
乙的时间。假设 v1=3，速度提升 1/3，则 v2=4。所以 v1/v2=3/4，则 t1/t2=4/3，
t1为 4 份对应 2 小时=120 分钟，所以 1 份为 30 分钟，乙的时间占 3 份为 90
分钟。
（4）甲速度为 v1，乙在甲的基础上提升了 25%（1/4），问 v1/v2。v1/v2=4/5。
若乙的速度在甲的基础上快了 1/7，所以 v1/v2=7/8。
【小结】行程问题：
1.普通行程：
（1）路程=速度*时间（S=V*T）。
（2）平均速度：
①总距离/总时间。
②等距离上下坡、往返，V=2V1*V2/（V1+V2）。
2.相对行程：
（1）相遇追及：
①相遇：S 和=V 和*T 遇。
②追及：S 差=V 差*T 追。
（2）多次运动：
①线形第 n 次相遇：（2n-1）S=V 和*T。
②环形第 n 次相遇：n 圈=V 和*T。
③环形第 n 次追及：n 圈=V 差*T。
（3）顺水逆水：
①顺水：S=（v 船+v 水）*T 顺。
②逆水：S=（v 船-v 水）*T 逆。18
3.比例行程：
（1）S 一定，V 与 T 成反比。
（2）V 一定，S 与 T 成正比。
（3）T 一定，S 与 V 成正比。
