大家好！本文和大家分享一道1987年高考数学真题。这道题是当年文史类数学试卷的第七题(共八题)，题目看似很难，但是掌握方法后其实很简单，甚至不少高三学生表示：按照这个难度，如果早生几十年，自己也是个学霸了。那么，我们一起来看一下这道题。
这是一道数列与极限的题目，先看第一问：已知数列前n项和Sn与an的关系，求数列的通项公式。
在高考中，已知数列的前n项和Sn，求通项公式有两种常考形式，一是Sn=f(n)，二是Sn=f(an)。
先看第一种形式，即Sn是一个关于n的函数关系，这种情况下求解的基本思路是：根据题目中告诉的Sn的关系式，写出S(n-1)，当然此时n≥2，然后两个相减就能得到an与a(n-1)的关系，接下来再求通项公式即可。比如下图的这个例子。
需要注意的是，遇到这类题目一定要对n=1进行单独讨论，否则很容易出错。
再看第二种形式，即Sn是关于an的函数关系。这种情况的解题思路是Sn和an只保留一个(具体方法见下图)，当然如果是求通项公式，那么优先选择保留an。如果是保留an，那么就可以得到两项之间的关系，然后根据情况继续处理。如果是保留Sn则可以得到Sn关于n的表达式，再按照前面的方法处理即可。
回到这道高考真题。本题很明显属于第二种形式，所以可以先写出S(n+1)，再减去Sn，这样就得到了a(n+1)与an的关系。经过变形可以得到：[a(n+1)]/an=k/(k-1)，而k为不等于1的实数，即k/(k-1)为一个常数，所以数列an就是以k/(k-1)为公比的等比数列。
要求等比数列的通项公式，那么只需要知道首项和公比即可，所以接下来还需要求出首项。由于a1=S1，所以a1=ka1+1，这样就可以求出首项，此时就能轻松求出an的通项公式了。
再看第二问：求k的取值范围。
已知n趋于∞时，Sn的极限，那么可以先根据等比数列求和公式求出Sn的表达式。接下来根据极限值对表达式进行处理，从而得到|k/(k-1)|＜1这个不等式，即-1＜k/(k-1)＜1，解出这个不等式就可求出k的取值范围。
需要注意的是，这是这个分式不等式，不能简单的同时乘以k-1来求解，而应该进行分类讨论或者化分式为整式进行求解。不少同学在解这个不等式时出错了，真的太可惜了。
当然，这一问还可以用其他方法。比如将Sn=kan+1代入极限的表达式，并将第一问得到的an的通项公式代入后化简，同样可以求出k的取值范围。
对于现在的高三学生来说，这一道题的难度确实不大，那么你会做吗？
